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學(xué)習(xí)筆記:傅里葉變換

2019-04-24 17:18:25 596

技術(shù)理論的學(xué)習(xí),那是有趣共枯燥一色,暈菜與理解齊飛。最近久好電子的一個(gè)技術(shù)學(xué)習(xí)小組就深有體會(huì)。然而一點(diǎn)一滴的、不斷的學(xué)習(xí)中,每個(gè)人都是收獲滿滿。我們一起來看看某學(xué)霸這一周的讀書筆記。

【第三章 傅里葉變換    作者:李曉強(qiáng)】

首先從內(nèi)容的銜接上來總結(jié)本章內(nèi)容----只要滿足狄利赫里條件的周期信號(hào),都可以用傅里葉級(jí)數(shù)來表示;傅里葉級(jí)數(shù)可以用三角波形式給出;如果利用歐拉方程替換三角波,又可以用指數(shù)形式表示;如果將級(jí)數(shù)中的每一個(gè)信號(hào)的頻率提取出來,將相應(yīng)頻率的幅值表示到平面坐標(biāo)中,這個(gè)離散的頻率-幅值坐標(biāo)面我們稱之為幅度譜;將三角波每個(gè)頻率成份的相位表示到平面坐標(biāo)中,這個(gè)離散的頻率-相位坐標(biāo)平面稱之為相位譜。

不得不感嘆,這種周期信號(hào)的表示方法完美到令人窒息,用傅里葉級(jí)數(shù)的頻譜方式表示任意周期信號(hào),可以包含此信號(hào)的所有信息,而這就是頻域。

周期信號(hào)(加條件)用傅里葉級(jí)數(shù)可以完美的表達(dá),那么非周期信號(hào)怎么辦?事實(shí)上,如果一個(gè)周期信號(hào)當(dāng)它的周期趨向于無窮大,那么這個(gè)信號(hào)我們認(rèn)為它非周期,所以只要對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開,同時(shí)對(duì)其周期求極限,那這個(gè)“周期無群大”的信號(hào)也能展開成一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)。反過來說,非周期信號(hào)也可能存在傅里葉級(jí)數(shù),這種周期無群大信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開稱之為傅里葉變換。

仍然用頻譜的方式來觀察一個(gè)周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù),會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)周期信號(hào)的周期加大時(shí),其譜線的X 坐標(biāo)密度增加,如果周期被極限為無窮大,頻譜的密度則無限密,變得連續(xù)起來。

敲黑板

此時(shí)不能將這種極限狀況演化下的結(jié)果稱為連續(xù)頻譜,因?yàn)閷?duì)于一個(gè)非周期信號(hào)而言,其總歸是有一定能量,如果直接用連續(xù)的頻譜,其能量是就是每個(gè)頻點(diǎn)的相加,這樣就會(huì)存在一個(gè)矛盾,連續(xù)的頻譜是無限頻點(diǎn),而幅度是一個(gè)有限值,這樣信號(hào)的能量就變?yōu)榘l(fā)散值。

如果考慮了傅里葉級(jí)數(shù)的前提,周期雖然趨向于無群大,頻譜依然存在,只是頻譜間隔變?yōu)闊o窮小,這樣得到的頻率-幅度的平面坐標(biāo)稱之為密度譜,其物理含義就是:任意一點(diǎn)的頻率值趨向于0(因?yàn)轭l率寬度0),但是一段頻率的能量值仍然有效。

? 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)

周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的展開及其系數(shù)的計(jì)算,幅度譜和相位譜的計(jì)算,如果用歐拉公式將傅里葉級(jí)數(shù)展開,要理解復(fù)頻域的概念,其頻率會(huì)產(chǎn)生負(fù)的部分,實(shí)際這是用指數(shù)表示三角函數(shù)過程中數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果,如果將相位加入,那么π相位為負(fù)幅值。

傅里葉級(jí)數(shù)在工程應(yīng)用中由于頻率無法達(dá)到無限值,當(dāng)頻率有限時(shí),其級(jí)數(shù)就存在一個(gè)方均誤差。

? 傅里葉變換及典型的非周期信號(hào)傅里葉變換

將周期信號(hào)的周期取極限得到傅里葉變換,反向思維,如果要求一個(gè)非周期函數(shù)的傅里葉變換,可以先求相似的周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù),然后將周期取極限。門限函數(shù)的傅里葉變換是Sa 函數(shù)

? 沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅氏變換

沖激函數(shù)的傅里葉變換是1,也就是說理想的沖激函數(shù)包含了任何頻率信息,其幅值是1,稱之為均勻譜。如果對(duì)門限函數(shù)的門限寬度取無窮極限,就得到直流信號(hào)的傅里葉變換是沖激函數(shù)。階躍信號(hào)的傅里葉變換是一個(gè)沖激信號(hào)和反比例函數(shù)的合成,所以我們總是以沖激函數(shù)和階躍函數(shù)仿真系統(tǒng)的響應(yīng)特性,因?yàn)槠漕l率成份足夠多。

? 傅里葉變換的基本性質(zhì)

對(duì)稱性、疊加性、奇偶虛實(shí)性、尺度變換性、時(shí)移特性、頻移特性、微積分特性。

? 卷積定理

時(shí)域卷積定理:時(shí)域的卷積就是頻域的相乘

頻域卷積定理:頻域的卷積是時(shí)域相乘除以2π

? 周期信號(hào)的傅里葉變換

傅里葉變換求得信號(hào)的連續(xù)密度譜,而周期信號(hào)的傅里葉變換的譜線離散的,這時(shí)候只能用沖激函數(shù)的能量無限來抵消頻率離散所帶來的能量計(jì)算問題。進(jìn)一步,如果求的周期信號(hào)的傅里葉變換,將其與沖激函數(shù)來求卷積,那么很容易求得周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。

? 抽樣信號(hào)的傅里葉變換和抽樣定理

本節(jié)屬于傅里葉變換的應(yīng)用范疇,根據(jù)前章的鋪墊,如果用一個(gè)信號(hào)fs 采樣一個(gè)信號(hào)fi,實(shí)際上就是這個(gè)信號(hào)fs 對(duì)被抽樣信號(hào)fi 的卷積,那么根據(jù)時(shí)域卷積定理,可以分別求其傅里葉變換,然后在頻域相乘得到頻域信號(hào),最后經(jīng)過傅里葉反變換得到采樣信號(hào)的時(shí)域信號(hào)。

抽樣定理又稱為奈奎斯特采樣定理,也就是采樣頻率fs 至少是被采樣信號(hào)fi 的2 倍,才有可能無失真的恢復(fù)原信號(hào)。


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